作者：劉炯朗
出版社：時報出版社
出版日期：2014年7月6日

文／白榮銓

2011 年， 一部改編自《魔球： 逆境中致勝的智慧》（Moneyball：The Art of Winning an Unfair Game）小說的電影《魔球》上映。劇情描述美國職棒大聯盟（Major League Baseball， 縮寫MLB）「奧克蘭運動家隊」（Oakland Athletics），面臨預算不足，無法網羅明星隊員的困境；但是球隊總經理比恩（Billy Beane）善用數據及統計分析，進行選秀和球員交易，打造一支無名小卒組成的球隊，在外界一片不看好中，戰績排名扶搖直上。本書會告訴你：比恩的做法是否符合邏輯？
 

本書作者劉炯朗（1934 ∼），1962 年，獲得麻省理工學院（Massachusetts Institute of Technology）電機博士，曾任教於麻省理工學院及伊利諾大學香檳校區（University of Illinois at Urbana Champaign）；1998 ∼2002 年， 擔任國立清華大學校長；2000年，當選中央研究院院士；2011 年，獲頒卡夫曼獎（Phil Kaufman Award），此獎被認為是電子設計自動化界的諾貝爾獎。本書內容包括：日常生活及運動賽事中隱藏的邏輯、撲克牌魔術和博奕背後的數學邏輯、以及邏輯相關的數學基本功。作者以深入淺出的方式，讓邏輯不再給人枯燥乏味、抽象深奧的感覺，進而從邏輯的角度觀察，讓數學和生活變得更加息息相關、更加生動有趣。

茶壺原理
有一天，一位數學家和一位工程師，同時被問到A 問題：「假設廚房地板有一個空水壺，你要怎麼樣燒開水來泡茶？」，工程師回答：「把水壺灌滿水，放到爐子上，然後點燃爐火。」數學家也同意工程師的看法。接著，兩人又被問到B 問題：「爐子上放著一個茶壺，裡面裝滿水，請提供一個方法，煮一壺開水來泡茶。」工程師：「只要點燃爐火，靜待水壺內的水沸騰。」這次數學家不同意了，他認為：「應該把水壺從爐子上提起來，把水倒光，再把空的水壺放在廚房地板上，這樣子，B 問題就轉化成已經知道如何解答的A 問題了！」這反映出數學家的解題思維。
也許有人認為這是笑話，但日常生活中，確實有類似的解題實例，例如有位國外來的觀光客，打電話給住在臺北的朋友， 詢問如何從臺北火車站前往101 大樓，這位朋友詳細地告訴他，如何坐捷運、轉公車、再走路，觀光客果然順利地抵達101 大樓；第二天，國外來的觀光客又打電話問這位朋友，如何從東區的百貨公司前往101 大樓，這位朋友告訴他，可以搭計程車到臺北火車站，在臺北火車站再按照昨天的那條路線就對了！像這樣，把「待解答」的問題，轉化成「已經解答」的問題，這是在數學、科學以及日常生活裡常用的解題方法，俗稱「茶壺原理」（teakettle principle）。
文學家也有異曲同工的手法，寫作的文詞敘述，具備由「已知」來解答「未知」的特性，例如唐代著名的史學家吳兢（約670 ∼ 749）撰寫的《貞觀政要》，內容記載「夫事無可觀，則人怨神怒；人怨神怒，則災害必生；災害既生，則禍亂必作；禍亂既作，而能以身名令終者，鮮矣！」這樣的文學修辭中，兩個句子裡，將上一句結尾的幾個字，作為下一句開頭的幾個字，稱為「頂真格」，可視為文學中的「茶壺原理」。
由上述可知，面對日常生活的問題，首先回想過去是否曾遇過類似問題；然後將新問題當中的已知條件，與自己的舊經驗相連結；最後運用既有的知識和技巧，透過歸納和演繹等邏輯思考方式，尋找解決之道。

統計分析
誰是棒球界的明日之星？美國職業棒球聯盟的大聯盟，評估大學和小聯盟棒球選手的潛力，除了考慮體能以外，還參考球員過去球賽的紀錄數據，做為未來表現之預測。以打擊手為例，一個球員攻擊能力的重要指標之一是「安打」（hit），可是整個球季的安打數，與球員上場次數，以及教練安排的打擊順序有關；打擊順序在前的，在一場比賽裡，可能會多一次打擊機會；也和比賽裡全隊上壘的情形有關。因此安打數除以打擊次數，稱為「打擊率」（batting average），打擊率比安打數更能反映出打擊者的打擊能力，打擊率0.3 以上，即為很好的職棒打者。
但是打擊手除了安打之外，還有其他的保送上壘方法，例如四壞球、被投球觸身，人可能認為保送和被投球觸身是投手技術不好，而不是打擊手的功勞。但是好的打擊手有比較精準判斷好球和壞球的能力，可能迫使投手儘量把球投到打擊區的邊緣和角落，而增加了因四壞球及觸身球造成的保送機率。因此（安打數＋保送次數）÷（安打數＋保送次數＋犧牲打次數）稱為「上壘率」（on base percentage），不但可做為打擊率的微調，更可做為評估打者上壘的機率；上壘率愈高表示打者攻佔壘包的能力愈強。
安打數只是籠統地統計，可進一步區分為：一壘安打、二壘安打、三壘安打、全壘打，然而在計算打擊率時，全壘打與安打卻被視為一樣。因此，（1× 一壘安打數） ＋（2× 二壘安打數） ＋（3× 三壘安打數）＋（4× 全壘打數）稱為「壘打數」（total bases）。如果將壘打數除以打擊的次數，則稱為「長打率」（slugging percentage），即為球員每次上場擔任打擊任務時平均能夠佔有的壘包數。相對於安打數和打擊率，壘打數和長打率更能精確地評估打者的打擊能力。如果將上壘率和長打率加起來，則更能呈現打擊手的攻擊能力，稱為「上壘加長打率」，又稱為「整體攻擊指數」（on-base plus slugging）。至於美國職棒各隊及個人的安打數、打擊率、上壘率、長打率、整體攻擊指數，都可上MLB 中文官方網站（http://mlb.tw/mlb/portal/index.action）查詢。
由上述可知，職棒教練面對如何提升球隊戰績排名的問題，首先要「分析」各隊的棒球統計數據，知己知彼。並藉此評估球員特性，擬定訓練計畫，然後「綜合」球員長處，合作互補，邁向提升球隊整體實力的目標。職棒運動賽事的輸贏，不只是憑藉主觀的經驗和直覺，更仰賴各項數據的統計分析。因此善用數據分析，正符合了「數據會說話」及「一切盡在計算中」的邏輯思維。

數學邏輯
魔術師拿出一副撲克牌，經過洗牌數次後，將全部的52 張牌，攤在桌上，整齊排列成數列（圖1），每一列幾張都沒關係；請觀眾從1 到10 選一個秘密數字（例如5），不要讓魔術師知道，請觀眾從第1 張牌開始，由左向右默數，數到第5 張牌（紅心3）後暫停；再按照這張牌的點數（3）向前數到第3 張牌（紅心6）後暫停；再按照這張牌的點數（6）繼續向前數⋯⋯。Ace 算1 點，Jack、Queen、King 都算5 點，直到無法繼續向前數為止，例如跳到一張牌（黑桃7），點數是7 ，但是前面沒有足夠的7 張牌可以繼續往前走，就必須停止向前跳，然後請觀眾記住這張牌（黑桃7）。

圖1　撲克牌魔術（Kruskal Count），藍色方框代表跳到的牌。（圖片來源：Designed by Freepik.com）

魔術師也選了一個自己的秘密數字，重覆上述步驟，雖然不知道觀眾的秘密數字，但魔術師可以神奇地正確說出觀眾最後選的撲克牌（黑桃7）。這個遊戲最早由美國著名的數學家& 物理學家克魯斯卡爾（Martin Kruskal, 1925 ∼ 2006） 提出，稱為Kruskal Count。雖然魔術師和觀眾一開始選了不一樣的秘密數字，卻有約80%的機會跳到相同的最後一張牌。「The Kruskal Count Card Trick」（網址：http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html）提供這套撲克牌魔術的線上操作，網頁已預先標示出您會選的最後一張牌；將網頁「Reload」可以重新洗牌再玩。
Kruskal Count 的原理為何？ 簡單地說，因為52 張撲克牌點數的總和是4×（1＋ 2 ＋ 3 ＋ ⋯⋯ ＋ 10 ＋ 5 ＋ 5 ＋ 5） ＝280 ，所以一張牌的平均點數是280/52 ＝5.38 ，也就是每跳1 次，前進的平均點數是5.38 ，從開始跳到結束平均大約要跳10次左右。觀眾和魔術師在各自的路上各跳一次，他們跳到同一張牌的機率是1/5 ，跳到兩張不同的牌的機率是4/5；因此兩人都不碰頭的機率是(4/5) ¹⁰ ＝ 0.107 ，碰頭的機率是1 － 0.107 ＝ 0.893。兩人向前數的過程中，只要在「同一張牌」碰頭，則從這張牌之後兩人所跳的牌都會相同。進一步分析結果，如果魔術師選的秘密數字是1 ，則會增加成功的機率；萬一猜錯了，魔術師要能靈活風趣的自圓其說，然後再猜一次。
有「微分幾何之父」尊稱的法國著名數學家蒙日（Gaspard Monge, 1746 ∼1818）， 發明了蒙日洗牌（Monge Shuffle）。洗牌方法：左手拿著一疊牌，將第一張放在右手，將第二張放在第一張牌上面，將第三張牌放在第一張下面；接下來就反覆將左手的牌一張放在右手那疊牌上面，另一張放在右手那疊下面。（請參考Example of a Monge Shuffle，https://www.youtube.com/watch?v=dVOJMiyVpWA）
如圖2 ， 當我們將八張牌（ 黑桃Ace、King、Queen、Jack，紅心Ace、King、Queen），用「蒙日洗牌」洗兩次，洗出來的牌次序是一對Queen、一對King、一對Jack、一對Ace，這套魔術稱為「同性相吸」。

圖2　撲克牌魔術「同性相吸」。（圖片來源：Designed by Freepik.com）

利用「蒙日洗牌」也可以設計一個「Ace在那裡」的魔術，將八張牌按照Ace、2、3、4、5、6、7、8 的順序排好（圖3），請觀眾做任何次數的「蒙日洗牌」，然後魔術師只要翻開第一張牌就知道Ace 在那裡了。這是因為1、5、7、8 這四張牌在每次洗牌後，依序循環地出現在第「1、5、7、8」這四個位置，故魔術師只要知道哪一張牌占了第一個位置，就可以推測Ace 在第幾張牌的位置。

圖3　 Ace在那裡？

由上述可知，魔術師可以正確說出觀眾最後選的撲克牌並不是靠運氣，而是利用機率來推論。一疊撲克牌經過數次「蒙日洗牌」，比較各張牌之間的共同性與差異性，察覺個體之間的關聯及整體的規律性；最後運用想像力與創意，設計出「同性相吸」、「Ace 在那裡」或其他撲克牌魔術，這些撲克牌魔術的原理，都屬於數學邏輯的範疇。
綜合上述，日常生活、職棒運動以及撲克牌魔術背後的規則，都與歸納、演繹、統計分析及數學邏輯有關；至於如何公平的分配蛋糕？罹患乳癌的機率怎麼算？為何賽馬場能穩贏不賠？如何看穿賭博的勝敗邏輯？還有哪些與邏輯相關的問題？有待您進一步的閱讀與思考！

白榮銓　臺中市立居仁國中退休教師