你沒聽過的邏輯課:探索魔術、博奕、運動賽事背後的法則

作者:劉炯朗
出版社:時報出版社
出版日期:2014年7月6日


文/白榮銓

2011 年, 一部改編自《魔球: 逆境中致勝的智慧》(Moneyball:The Art of Winning an Unfair Game)小說的電影《魔球》上映。劇情描述美國職棒大聯盟(Major League Baseball, 縮寫MLB)「奧克蘭運動家隊」(Oakland Athletics),面臨預算不足,無法網羅明星隊員的困境;但是球隊總經理比恩(Billy Beane)善用數據及統計分析,進行選秀和球員交易,打造一支無名小卒組成的球隊,在外界一片不看好中,戰績排名扶搖直上。本書會告訴你:比恩的做法是否符合邏輯?
 

本書作者劉炯朗(1934 ∼),1962 年,獲得麻省理工學院(Massachusetts Institute of Technology)電機博士,曾任教於麻省理工學院及伊利諾大學香檳校區(University of Illinois at Urbana Champaign);1998 ∼2002 年, 擔任國立清華大學校長;2000年,當選中央研究院院士;2011 年,獲頒卡夫曼獎(Phil Kaufman Award),此獎被認為是電子設計自動化界的諾貝爾獎。本書內容包括:日常生活及運動賽事中隱藏的邏輯、撲克牌魔術和博奕背後的數學邏輯、以及邏輯相關的數學基本功。作者以深入淺出的方式,讓邏輯不再給人枯燥乏味、抽象深奧的感覺,進而從邏輯的角度觀察,讓數學和生活變得更加息息相關、更加生動有趣。

茶壺原理
有一天,一位數學家和一位工程師,同時被問到A 問題:「假設廚房地板有一個空水壺,你要怎麼樣燒開水來泡茶?」,工程師回答:「把水壺灌滿水,放到爐子上,然後點燃爐火。」數學家也同意工程師的看法。接著,兩人又被問到B 問題:「爐子上放著一個茶壺,裡面裝滿水,請提供一個方法,煮一壺開水來泡茶。」工程師:「只要點燃爐火,靜待水壺內的水沸騰。」這次數學家不同意了,他認為:「應該把水壺從爐子上提起來,把水倒光,再把空的水壺放在廚房地板上,這樣子,B 問題就轉化成已經知道如何解答的A 問題了!」這反映出數學家的解題思維。
也許有人認為這是笑話,但日常生活中,確實有類似的解題實例,例如有位國外來的觀光客,打電話給住在臺北的朋友, 詢問如何從臺北火車站前往101 大樓,這位朋友詳細地告訴他,如何坐捷運、轉公車、再走路,觀光客果然順利地抵達101 大樓;第二天,國外來的觀光客又打電話問這位朋友,如何從東區的百貨公司前往101 大樓,這位朋友告訴他,可以搭計程車到臺北火車站,在臺北火車站再按照昨天的那條路線就對了!像這樣,把「待解答」的問題,轉化成「已經解答」的問題,這是在數學、科學以及日常生活裡常用的解題方法,俗稱「茶壺原理」(teakettle principle)。
文學家也有異曲同工的手法,寫作的文詞敘述,具備由「已知」來解答「未知」的特性,例如唐代著名的史學家吳兢(約670 ∼ 749)撰寫的《貞觀政要》,內容記載「夫事無可觀,則人怨神怒;人怨神怒,則災害必生;災害既生,則禍亂必作;禍亂既作,而能以身名令終者,鮮矣!」這樣的文學修辭中,兩個句子裡,將上一句結尾的幾個字,作為下一句開頭的幾個字,稱為「頂真格」,可視為文學中的「茶壺原理」。
由上述可知,面對日常生活的問題,首先回想過去是否曾遇過類似問題;然後將新問題當中的已知條件,與自己的舊經驗相連結;最後運用既有的知識和技巧,透過歸納和演繹等邏輯思考方式,尋找解決之道。

統計分析
誰是棒球界的明日之星?美國職業棒球聯盟的大聯盟,評估大學和小聯盟棒球選手的潛力,除了考慮體能以外,還參考球員過去球賽的紀錄數據,做為未來表現之預測。以打擊手為例,一個球員攻擊能力的重要指標之一是「安打」(hit),可是整個球季的安打數,與球員上場次數,以及教練安排的打擊順序有關;打擊順序在前的,在一場比賽裡,可能會多一次打擊機會;也和比賽裡全隊上壘的情形有關。因此安打數除以打擊次數,稱為「打擊率」(batting average),打擊率比安打數更能反映出打擊者的打擊能力,打擊率0.3 以上,即為很好的職棒打者。
但是打擊手除了安打之外,還有其他的保送上壘方法,例如四壞球、被投球觸身,人可能認為保送和被投球觸身是投手技術不好,而不是打擊手的功勞。但是好的打擊手有比較精準判斷好球和壞球的能力,可能迫使投手儘量把球投到打擊區的邊緣和角落,而增加了因四壞球及觸身球造成的保送機率。因此(安打數+保送次數)÷(安打數+保送次數+犧牲打次數)稱為「上壘率」(on base percentage),不但可做為打擊率的微調,更可做為評估打者上壘的機率;上壘率愈高表示打者攻佔壘包的能力愈強。
安打數只是籠統地統計,可進一步區分為:一壘安打、二壘安打、三壘安打、全壘打,然而在計算打擊率時,全壘打與安打卻被視為一樣。因此,(1× 一壘安打數) +(2× 二壘安打數) +(3× 三壘安打數)+(4× 全壘打數)稱為「壘打數」(total bases)。如果將壘打數除以打擊的次數,則稱為「長打率」(slugging percentage),即為球員每次上場擔任打擊任務時平均能夠佔有的壘包數。相對於安打數和打擊率,壘打數和長打率更能精確地評估打者的打擊能力。如果將上壘率和長打率加起來,則更能呈現打擊手的攻擊能力,稱為「上壘加長打率」,又稱為「整體攻擊指數」(on-base plus slugging)。至於美國職棒各隊及個人的安打數、打擊率、上壘率、長打率、整體攻擊指數,都可上MLB 中文官方網站(http://mlb.tw/mlb/portal/index.action)查詢。
由上述可知,職棒教練面對如何提升球隊戰績排名的問題,首先要「分析」各隊的棒球統計數據,知己知彼。並藉此評估球員特性,擬定訓練計畫,然後「綜合」球員長處,合作互補,邁向提升球隊整體實力的目標。職棒運動賽事的輸贏,不只是憑藉主觀的經驗和直覺,更仰賴各項數據的統計分析。因此善用數據分析,正符合了「數據會說話」及「一切盡在計算中」的邏輯思維。


數學邏輯
魔術師拿出一副撲克牌,經過洗牌數次後,將全部的52 張牌,攤在桌上,整齊排列成數列(圖1),每一列幾張都沒關係;請觀眾從1 到10 選一個秘密數字(例如5),不要讓魔術師知道,請觀眾從第1 張牌開始,由左向右默數,數到第5 張牌(紅心3)後暫停;再按照這張牌的點數(3)向前數到第3 張牌(紅心6)後暫停;再按照這張牌的點數(6)繼續向前數⋯⋯。Ace 算1 點,Jack、Queen、King 都算5 點,直到無法繼續向前數為止,例如跳到一張牌(黑桃7),點數是7 ,但是前面沒有足夠的7 張牌可以繼續往前走,就必須停止向前跳,然後請觀眾記住這張牌(黑桃7)。

撲克牌魔術(Kruskal Count),藍色方框代表跳到的牌圖1 撲克牌魔術(Kruskal Count),藍色方框代表跳到的牌。(圖片來源:Designed by Freepik.com)

魔術師也選了一個自己的秘密數字,重覆上述步驟,雖然不知道觀眾的秘密數字,但魔術師可以神奇地正確說出觀眾最後選的撲克牌(黑桃7)。這個遊戲最早由美國著名的數學家& 物理學家克魯斯卡爾(Martin Kruskal, 1925 ∼ 2006) 提出,稱為Kruskal Count。雖然魔術師和觀眾一開始選了不一樣的秘密數字,卻有約80%的機會跳到相同的最後一張牌。「The Kruskal Count Card Trick」(網址:http://faculty.uml.edu/rmontenegro/research/kruskal_count/kruskal.html)提供這套撲克牌魔術的線上操作,網頁已預先標示出您會選的最後一張牌;將網頁「Reload」可以重新洗牌再玩。
Kruskal Count 的原理為何? 簡單地說,因為52 張撲克牌點數的總和是4×(1+ 2 + 3 + ⋯⋯ + 10 + 5 + 5 + 5) =280 ,所以一張牌的平均點數是280/52 =5.38 ,也就是每跳1 次,前進的平均點數是5.38 ,從開始跳到結束平均大約要跳10次左右。觀眾和魔術師在各自的路上各跳一次,他們跳到同一張牌的機率是1/5 ,跳到兩張不同的牌的機率是4/5;因此兩人都不碰頭的機率是(4/5) 10 = 0.107 ,碰頭的機率是1 - 0.107 = 0.893。兩人向前數的過程中,只要在「同一張牌」碰頭,則從這張牌之後兩人所跳的牌都會相同。進一步分析結果,如果魔術師選的秘密數字是1 ,則會增加成功的機率;萬一猜錯了,魔術師要能靈活風趣的自圓其說,然後再猜一次。
有「微分幾何之父」尊稱的法國著名數學家蒙日(Gaspard Monge, 1746 ∼1818), 發明了蒙日洗牌(Monge Shuffle)。洗牌方法:左手拿著一疊牌,將第一張放在右手,將第二張放在第一張牌上面,將第三張牌放在第一張下面;接下來就反覆將左手的牌一張放在右手那疊牌上面,另一張放在右手那疊下面。(請參考Example of a Monge Shuffle,https://www.youtube.com/watch?v=dVOJMiyVpWA
如圖2 , 當我們將八張牌( 黑桃Ace、King、Queen、Jack,紅心Ace、King、Queen),用「蒙日洗牌」洗兩次,洗出來的牌次序是一對Queen、一對King、一對Jack、一對Ace,這套魔術稱為「同性相吸」。

撲克牌魔術「同性相吸」。圖2 撲克牌魔術「同性相吸」。(圖片來源:Designed by Freepik.com)

利用「蒙日洗牌」也可以設計一個「Ace在那裡」的魔術,將八張牌按照Ace、2、3、4、5、6、7、8 的順序排好(圖3),請觀眾做任何次數的「蒙日洗牌」,然後魔術師只要翻開第一張牌就知道Ace 在那裡了。這是因為1、5、7、8 這四張牌在每次洗牌後,依序循環地出現在第「1、5、7、8」這四個位置,故魔術師只要知道哪一張牌占了第一個位置,就可以推測Ace 在第幾張牌的位置。

Ace在那裡?圖3  Ace在那裡?

由上述可知,魔術師可以正確說出觀眾最後選的撲克牌並不是靠運氣,而是利用機率來推論。一疊撲克牌經過數次「蒙日洗牌」,比較各張牌之間的共同性與差異性,察覺個體之間的關聯及整體的規律性;最後運用想像力與創意,設計出「同性相吸」、「Ace 在那裡」或其他撲克牌魔術,這些撲克牌魔術的原理,都屬於數學邏輯的範疇。
綜合上述,日常生活、職棒運動以及撲克牌魔術背後的規則,都與歸納、演繹、統計分析及數學邏輯有關;至於如何公平的分配蛋糕?罹患乳癌的機率怎麼算?為何賽馬場能穩贏不賠?如何看穿賭博的勝敗邏輯?還有哪些與邏輯相關的問題?有待您進一步的閱讀與思考!


白榮銓 臺中市立居仁國中退休教師

08/16/2016 15:21

當日人數:1  累積人數:734

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